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산술 진행의 소수


우리는 양의 정수가 1을 넘어서서 만 나눌 수있는 경우 소수라는 것을 안다. 소수는 물질의 구조에서 원자의 역할, 즉 숫자가 아닌 정수와 유사하게 산술에서 근본적인 역할을한다. 소수는 소수의 곱으로 표현 될 수 있습니다. 따라서 1보다 큰 정수는 소수이거나 소수의 곱으로 표현됩니다.

위의 의미에서 소수의 개념은 명백해 보이지만, 일반적으로 소수의 문제는 수학의 현재 단계에서 대답하기 쉽지 않습니다. 예를 들어, 모든 홀수는 형식 4로 표현됩니다.x + 1 또는 4x + 3; 그래서 우리는 4 형의 사촌이 누구인지 묻습니다x + 1과 형태 4의 사촌은 무엇입니까x + 3. x를 양의 정수로 대체하여 위의 형식의 숫자 시퀀스를 생성하면 결과 시퀀스는 무한한 소수의 소수를 갖습니다.?

알렉산드리아의 유클리드 (기원전 약 300 년)는 무한한 소수의 소수가 있다는 매우 독창적 인 증거를 보여주었습니다. 유클리드에 의해 주어진 동일한 주장은 형태 4 사촌의 무한을 설명하는 데 사용될 수 있습니다.x + 3. 2가 유일한 짝수 인 소수이기 때문에 홀수의 소수는 두 개의 패밀리로 나뉩니다.

i) 5, 13.17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 113, 137, 149, 157, 173…

(ii) 3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 67, 71, 79, 83, 103, 107, 127, 131139, 151…

여기서 첫 번째 숫자 시퀀스는 형식 4의 사촌을 나타냅니다.x 4 사촌을 형성하는 + 1과 두 번째x + 3. 무한한 타입 4 사촌이 있음을 보여 주자x + 3 무한한 사촌의 존재를 보여주는 유클리드 방법을 사용합니다.

실제로, 형식 4의 유한 한 소수가 있다고 가정하자x + 3; 이름을 지어 보자 무엇1, 무엇2, 무엇3,… , 무엇아니. 양의 정수를 고려하십시오.

N = 4 무엇1.무엇2.무엇3무엇아니 - 1 = 4 무엇1.무엇2.무엇3무엇아니 - 4 + 3 = 4 ( 무엇1.무엇2.무엇3무엇아니- 1) + 3

그리고 N = r1.r2.r3r 소수로 분해. N은 홀수 정수이므로 다음과 같습니다. rk 모두 2와 다르다 k, 각각 rk 그러므로 그것은 형태 4이다x +1 또는 4x + 3. 그러나 4 이상의 정수 두 개 이상의 곱x +1은 또한 이와 같은 정수, 즉

(4m + 1).(4아니 + 1) = 16mn + 4m + 4아니 + 1 = 4(mn + m + 아니) + 1 = 4z + 1.

따라서, N은 형태 4의 적어도 하나의 소인수를 갖는다x + 3, 말하기 r나는 = 4x + 3.

이제 우리는 r나는 원래 유한 한 소수 목록의 요소가 아닙니다. 무엇1, 무엇2, 무엇3,… , 무엇아니. 사실 그렇지 않으면 r나는 = 무엇j사촌을 위해 무엇j 우리의 원래 사촌 목록에서 r나는 제품을 나눌 것 무엇1.무엇2.무엇3무엇아니. 반면에 r나는 N의 요소 r나는 N-4 나누기 무엇1.무엇2.무엇3무엇아니 = -1. 곧 r나는 나누기 -1. 따라서 우리는 형태 4의 무한한 수의 사촌이 있다고 결론 내린다.x + 3 그러므로 유한 한 소수의 소수가 4라고 가정x + 3은 우리를 모순으로 이끈다.

다음 질문은 형태의 사촌이 무한하다 4x + 1? 대답은 그렇습니다. 그러나 우리는 다른 주장을 사용해야합니다. 형태 6의 수 서열과 관련하여 유사한 상황이 발생한다.x +1과 6x + 5.

양식 4의 숫자 시퀀스를 생성하면x + 3:

3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39, 43, 47, 51, 55, 59, 63, 67, 71, 75, 79, 83, 87,… ,

순서의 용어와 이전 항목의 차이는 항상 4와 같습니다.

형식 4 시퀀스도 마찬가지입니다.x + 1, 6x + 1 또는 6x + 5. 실제로 다음과 같은 정의가 있습니다. 산술 진행 용어의 차이가 2에서 오는 정수 시퀀스입니다.~.)와 선행 용어는 항상 같습니다”.

위에서 언급 한 것과 같은 일부 산술 진행 과정에서 무한한 사촌이 있다는 사실이 일반화 될 수 있습니까??

위에서 인용 한 진행 과정은 다음과 같습니다. b + 도끼 어디서 ~ 그리고 b 고정되고 x = 0, 1, 2, 3, 4, 5,… 즉, 그것들은 형태입니다

b, b + ~, b + 2~, b + 3~, b + 4~,…

만약에 ~ 그리고 b 공통 요소를 가지므로 산술 진행에는 모든 숫자 요소가 포함되지 않기 때문에 소수가 포함되지 않습니다. 예를 들어, 6 + 2에 의해 주어진 산술 진행을 고려하십시오x즉,

6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24,…

2는 2와 6의 공통 요소이며 모든 진행 조건은 숫자 2를 인수로 갖습니다. 이 사실은 우리가 진보를 고려해야한다는 것을 암시한다 b + 도끼 어디서 ~ 그리고 b 지정된 소수의 소수를 얻으려면 서로 소수입니다 b + 도끼. 수학자 Legendre 가이 질문의 중요성을 가장 먼저 깨닫은 것으로 보이며 1808 년에 다음과 같은 추측을 발표했습니다.2 그리고 b 0 양의 정수이며 서로 소수이므로 산술 진행에는 많은 소수가 있습니다.

b, b + a, b + 2a, b + 3~,… ”

이 추측은 주요 정리가되었으며 1837 년 Dirichlet에 의해 입증되었습니다.이 결과는 여러 가지 이유로 기념비적이었습니다. Dirichlet은 Euler의 독창적 인 아이디어에 의존하여 사촌의 무한함을 보여주었습니다. 무한 시리즈, 시리즈 수렴, 경계, 대수 등과 같은 혁신적인 분석 방법과 지금까지 정수 이론과는 다른 많은 다른 개념이 사용되었습니다. Dirichlet의 데모는 숫자 이론에서 분석 방법의 첫 번째 중요한 응용 중 하나로 간주되며 새로운 개발 라인을 제공했습니다. Dirichlet의 주장을 뒷받침하는 아이디어는 성격 상 매우 일반적이며, 숫자 이론에서 분석 방법을 적용하는 후속 작업을 개발하는 데 도움이되었습니다.

1949 년 수학자 인 Atle Selberg는 그의 초기 소수 이론에 대한 초기 시연과 유사하게 Dirichlet의 정리에 대한 기초적인 시연을했다.

Dirichlet은 또한 두 가지 변수, 즉 모든 유형의 모든 이차 형태를 보여주었습니다. 도끼2 + bxy + cy2 어디서 ~, bc는 서로 소수이며 소수의 무한대를 생성합니다. 무한 소수를 생성하는 다른 방법에 대해서는 알려진 바가 없습니다.

반면에 모든 항이 소수 인 산술 진행이 없음을 보여줄 수 있습니다. 지난 세기까지, 열려있는 오래된 문제는 모든 용어가 소수 인 임의로 길지만 유한 한 산술 진행을 결정하는 것이 었습니다.

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