수학 II의 대칭


유클리드 선 (초등학교에서 알고있는 기하학 선)의 점을 숫자로 생각하면 흥미 롭습니다. 이 발명은 17 세기 수학에서 큰 혁명을 일으켰습니다. 유명한 데카르트 좌표 아이디어입니다. 그것으로 우리는 숫자와 대수를 사용하여 기하학적 문제를 생각할 수 있습니다. 유클리드 선의 점은이 관점에서 대수적 구조의 요소가됩니다. 그것은 실수의 매우 중요한 구조입니다. 실제로, 우리는 예를 들어 대수 구조 또는 신체 구조와 같은 유클리드 라인의 요점을 연구 할 수 있습니다 (이 기사에서는 신체 정의가 필요하지 않음). 이전 칼럼에서 두 개의 실수 사이에 "구멍"이 있는지 또는 유클리드 라인의 두 점 사이에 "빈 공간"이 있는지에 대한 문제를 언급했습니다. 그가 수학 분석에 관한 훌륭한 책과 접촉하고 있다면 수학의 모든 심각한 학생들은이 문제에 직면하게됩니다. 좋은 책은 중요한 아이디어를 정리하고 설명과 논리적 정당성을 유능하게 다룹니다. 여기서 우리는 이러한 아이디어 중 일부를 직관적이고 비공식적 인 관점에서 계속 공개 할 것입니다.
인간은 아이디어와 개념에서 대칭을 "볼"필요가 있는데, "진공의 공포 속에서"라는 두 개의 실수 사이에 존재할 수있는 공극을 "채우려는"시도로 이어진다. Dedekind와 같은 19 세기 후반 수학자들은 두 개의 실수 사이에 빈 공간이없는 것에 대한 정당성을 발견했습니다. 이제 유클리드 라인을 실제 숫자 라인으로 상상해 봅시다.
점이 숫자 인 경우이 숫자가 어떤 대수 관계를 만족하는지 묻는 것은 불가피합니다. 예를 들어, 우리가 이미 언급했듯이, 피타고라스는 방정식 x2-2 = 0, 2의 제곱근의 해에 직면하여 데카르트의 관점에서가 아니지만 유클리드 라인 에서이 점을 어떻게 수용 하는가 문제를 발견했습니다. 천 년 후, 그는 각 점이 단일 숫자에 해당하고 각 숫자가 유클리드 라인의 단일 점에 해당한다고 분명히 가정했으며, 피타고라스는 음수를 모르기 때문에 예를 들어 왼쪽 선을 가지지 않았습니다. 그러나 피타고라스는 유클리드 선에서 칼라가 1을 측정 한 직각 삼각형의 빗변 척도를 나타내는 지점을 찾지 못했습니다. 대수적으로 말하면, 문제는 어떤 유형의 숫자가 방정식 x2-2 = 0을 해결할지에 대한 것입니다. Dedekind가 얻은 수치 적 직선은 자연스럽게이 완성에 의해 어떤 방정식이 해결되고 어떤 방정식이 해결되지 않는지를 묻습니다. 우리는 즉시 방정식 x2 + 1 = 0을 기억합니다.이 방정식의 해에 대한 유클리드 라인에서 점을 찾을 수있는 방법은 없습니다. 그리고 솔루션에 대해 말하면 솔루션은 무엇입니까?
다시 말하지만, 역사는 나선에도 불구하고 반복됩니다. 이제 우리는 어느 두 실수 사이의 숨겨진 대칭을 발견하게 된 것보다 높은 수준에 있습니다. 이제 우리가 그 정체성을 다시 찾도록 동기를 부여하는 숨겨진 대칭은 왜 x2 + 1 = 0 방정식을 푸는 "숫자"도 없어야 하는가에 대한 질문으로 정당화 될 수 있습니다. "대칭"을 위해, "기하학적 공간"과이 방정식의 "수치 해법"인 "점"을 포함하는 유클리드 라인의 공간이 있어야합니다.
이 숨겨진 대칭을 추구 할 수있는 단서가 있습니까? 대칭이라는 개념은 이미 큰 단서입니다. 모든 다항식의 수치 해를 구하는 문제를 대칭 적으로 해결하는 점 공간이 있다고 생각되면이 공간의 모습을 먼저 설명하겠습니다. 즉, 만약 그가 존재한다면, 그리고 우리가 "대칭에 대한 욕망"을 만족시키기 위해 우리가 "필요한"속성을 가지고 있다면, 우리는 더 이상 수학 세계에서이 입장에 대한 후보자를 선출 할 수 없습니까? 유클리드 계획이라는 명백한 후보를 향하고 있다는 것을 이미 알고 있습니다. 유클리드 라인이 일부 다항식의 해를 나타낼 수 있다면, 유클리드 평면이이 공간의 자연스러운 연속 점이 아니고 그 점이 모든 다항식을 풀고 자하는 "수"가 아닌가?
역사적으로 이것은 쉽지 않았습니다. 많은 위대한 수학자들이 우리가 위에서 제안한 대칭의 관점을 가지지 않고이 사가의 다른 시대에 참여하여 오늘날 우리는이 문제를 단순하고 통일 된 조화로운 방식으로 생각할 수 있습니다. -1의 제곱근은 어디에 있습니까? 공간이 더 이상 없기 때문에 유클리드 라인에있을 수 없습니다. 대수적으로 말하면 실수를 제곱하고 -1을 얻는 방법은 없습니다. 대칭을 통해 세상을 볼 필요가 있기 때문에 우리는 이미 유클리드 라인에서 정복 한 공간을 "파괴"하지 않는 새로운 지점 공간을 만들어냅니다. 유클리드 평면, "제 2 차원"에서의 유클리드 선의 연속은 자연적인 후보이다.
그렇다면 몇 가지 문제를 해결해야합니다. 이 새로운 숫자의 추가는 어떤 모습입니까? 그들의 곱셈은 어떻습니까? 우리는 그들이 실수의 "확장"이어야하므로 더하기와 곱셈의 가능성이 있다고 가정합니다. 그러므로 그들이 서로를 더하고 곱한다고 가정하는 것이 당연합니다. 또한 이러한 연산은 실수가 만족하는 속성을 만족시켜야합니다. 따라서 유클리드 비행기의 두 점을 나타 내기 위해 두 쌍의 실수를 취하면, 우리는 이미 그 복소수 간의 연산으로 알려진 규칙에 의해 그 합과 곱이 주어진다고 결론을 내릴 것입니다. 이것이 모든 다항식의 해를 구하는 문제를 해결하는지에 대한 의문이 남아 있습니다. 이 질문에 대한 답은 Gauss의 박사 논문으로 유명한 대수 기초 정리 (Algebra Fundamental Theorem)입니다. "모든 복잡한 다항식에는 복잡한 뿌리가 있습니다."
우리는 두 개의 대수적 구조를 가지고 있습니다 : 실수의 대수 (유클리드 선으로 기하학적으로 표시)와 복소수의 대수 (유클리드 평면으로 기하학적으로 표시).
이 논리적 인 아이디어 순서에서 매우 자연스러운 다음 질문을 제기 할 수 있습니까? "그렇다면 유클리드의 3 차원 공간이 더 넓은 대칭을 숨기고 있지 않습니까?" 아니면 "유클리드의 3 차원 공간이 아닌가, 복소수의 속성을 3 좌표로 확장하는 3 차원 대수학이 아닌가?"
베팅하십시오. 비관론자는 "가우스가 보여 주듯이 다항식은 이미 복소수에 만족하고 더 이상 숫자가 필요하지 않기 때문에 답은 부정적이다." 낙관론자는 다음과 같이 말할 수있다.“이 대칭이 차원 2에서 끝나는 것은 이상하다. 차원 3에서 숨겨져 야합니다!”.
"대수 구조가 모든 다항식을 대칭 적으로 풀고 자하는 우리의 욕구를 만족시키는 것이 흥미 롭습니다. 그러나이 모든 elucubulation은 무엇입니까?"

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